Aulas de matemática do Ensino médio - Trigonometria do triângulo retângulo

[MayLeone]

Introdução:

Olá! Estou eu aqui novamente postando mais uma aula de matemática numa comunidade de RPG Maker, mas se quiser saber mais sobre a ideia inicial, clique aqui.
Talvez essa seja a última aula que eu poste sobre o assunto ''matemática'' aqui na comunidade, pois penso que não seja um tema tão apropriado para o fórum, não ao ponto de eu postar todas as aulas que pretendo.
Então, se quiser acompanhar mais aulas de matemática de minha autoria, visite meu blog, que ainda está em construção, pois falta muito conteúdo ainda para concluí-lo, porém já há algumas aulas postadas, como a aula de radiciação, por exemplo.
Mas vamos à nossa aula de trigonometria:

O que é Trigonometria?

A trigonometria é uma área da matemática onde estuda-se as relações entre triângulos retângulos e o comprimento de seus lados, sob diferentes valores de seus ângulos agudos. Em resumo, a trigonometria estuda os triângulos retângulos, mas não só apenas isso, a trigonometria também aborda outros assuntos na geometria, como esferas trigonométricas e outros triângulos, por exemplo.
Mas para antes tentar compreender o estudo mais avançado sobre trigonometria, devemos estudar o básico, neste caso o básico a ser estudado seria o estudo do triângulo retângulo.
Mas o que é um triângulo retângulo?

A Definição de um Triângulo Retângulo:

Um triângulo retângulo na geometria é um triângulo que tem como principal característica, a presença de um ângulo reto (90 graus)  internamente, veja neste exemplo:


Perceba então que a principal característica de um triângulo retângulo é sempre a presença do ângulo reto de noventa graus, em um de seus cantos. Sem isso, um triângulo não pode ser dito como um triângulo retângulo.
Porém o ângulo reto não é o único elemento que forma o triângulo retângulo, veja abaixo:

Os Elementos de um Triângulo Retângulo:

Além do ângulo reto de 90°, um triângulo retângulo ainda possui outros elementos, como os catetos que formam seus cantos (para memorizar este nome, basta lembrar de ''cantetos'', pois eles definem os cantos do triângulo retângulo) , a hipotenusa e a presença de mais dois ângulos agudos internos (Ou seja, que são menores que 90°), mais conhecidos como ângulo alfa (α) e ângulo beta (β).
 Veja um exemplo da representação de um triângulo retângulo contendo seus elementos:


Esclarecendo a imagem acima: Temos o primeiro elemento do triângulo retângulo, o ângulo reto de 90°, e mais dois ângulos agudos internos, chamados de alfa (α) e beta (β).
Dois catetos representados pelas letras B e C e a hipotenusa representada pela letra H.
Normalmente nós descobrimos quem é a Hipotenusa e que são os Catetos, apenas observando a figura de um triângulo retângulo, e suas relações entre seus ângulos:
Relacionando o ângulo reto com a hipotenusa, podemos encontrá-la facilmente se sabermos que: A Hipotenusa sempre estará oposta ao ângulo reto, veja:


Sabemos também que a hipotenusa sempre será o lado maior do triângulo retângulo!
Para descobrir quem são os catetos, basta observar que são eles os responsáveis por formarem os cantos do triângulo retângulo:


Os segmentos em vermelho e azul na imagem acima, representam os catetos deste triângulo retângulo.
Porém, é meio incomodo não sabermos de qual cateto estamos nos referindo, já que temos dois! Por isso, eles foram nomeados de Cateto Oposto e Cateto Adjacente.
O Cateto adjacente sempre será aquele que está próximo ao ângulo agudo referido, já o Cateto oposto será aquele que estará sempre ao oposto do ângulo agudo referido.
Como temos dois ângulos agudos, alfa e beta, as nomenclaturas dos catetos são diferentes para cada um, dependendo de sua posição no triângulo retângulo.
Por exemplo, para o ângulo alfa desta figura, temos que:


Onde o Cateto adjacente (em azul) está próximo ao ângulo alfa, e o Cateto oposto (em vermelho) está oposto à este ângulo.
Mas no caso do ângulo beta as coisas mudam! Os nomes dos catetos serão diferentes, pois o que é adjacente para alfa é oposto para beta, e vice-versa, veja:


Perceba que agora o Cateto adjacente(em azul) à beta, forma a altura do triângulo retângulo, e o Cateto oposto (em vermelho) forma a base deste triângulo retângulo. Ou seja, o inverso da situação com o ângulo alfa.
O Cateto adjacente está próximo ao ângulo beta, e o Cateto oposto, está oposto à ele.
Tendo em mente os elementos principais de um triângulo retângulo que são em resumo, seus dois catetos (adjacente e oposto), a hipotenusa, um ângulo reto de 90 graus e dois ângulos agudos chamados de alfa e beta, podemos aprender as relações trigonométricas de um triângulo retângulo:

Relações trigonométricas de um triângulo retângulo:

As relações trigonométricas dos triângulos retângulos são primordiais para efetuarmos mais facilmente os cálculos dos lados de triângulos retângulos, são eles: Seno(sen), Cosseno(Cos) e a Tangente(Tg).
Cada um deles possui uma relação direta dos ângulos agudos do triângulo retângulo, com seus outros elementos.
O Seno relaciona o ângulo agudo com a razão (divisão) entre um Cateto Oposto e a Hipotenusa. Veja esta representação na fórmula:


Aqui estamos dizendo que o Seno do ângulo alfa é igual ao Cateto Oposto dividido pela Hipotenusa.
*No caso de querer relacionar o ângulo beta, basta substituir o ''A'' na fórmula por "B".

Já o Cosseno relaciona o ângulo agudo pela razão (divisão) entre o Cateto Adjacente e a Hipotenusa:


Neste caso estamos dizendo que o Cosseno de alfa é igual à divisão entre Cateto adjacente e a Hipotenusa.

Por fim, temos a Tangente que relacionado o ângulo agudo com os catetos:


Tangente de alfa é igual à Cateto oposto sobre Cateto adjacente.

Vamos à um exemplo para o esclarecimento do uso dessas fórmulas e relações?

Examine o triângulo retângulo abaixo:


Como podemos aplicar esses valores dados nas fórmulas do Seno, Cosseno e Tangente?
Bom, primeiramente basta identificarmos cada elemento, vejamos:

O número 15 está ao oposto do ângulo reto, logo, ele é nossa hipotenusa. Já nos casos dos números 9 e 12, podemos concluir que eles são os catetos, pois formam os cantos deste triângulo retângulo. E como representado na figura, nosso ângulo alfa é igual à 30 graus e nosso ângulo beta igual à 60 graus.
Pronto! Já sabemos quem é quem nessa bagunça! Mas e agora? Como representá-los nas fórmulas?

Se queremos a relação entre os elementos deste triângulo retângulo e o ângulo alfa, basta dizermos que o 12 é o Cateto adjacente e o 9 o Cateto Oposto, pois como visto anteriormente, o Cateto adjacente é o cateto próximo ao ângulo referido, e o Cateto oposto, o cateto que está oposto ao ângulo referido.
Logo, o Seno de alfa(30 graus) ficaria assim:

Pois o Seno relaciona o ângulo referido à divisão entre Cateto Oposto e Hipotenusa.
Cosseno de alfa:

Cosseno relaciona o ângulo referido à divisão entre Cateto Adjacente e Hipotenusa.
Por fim, a Tangente de alfa:

A Tangente relaciona o ângulo referido à divisão entre Cateto Oposto e Cateto Adjacente.

Para relacionar os elementos com o ângulo beta, basta fazer o mesmo processo, só que substituir o ângulo referido nas fórmulas. Se antes era ângulo alfa = 30°, agora será ângulo beta = 60°
Vale lembrar também que: Se para alfa um cateto é adjacente, para beta ele é oposto, e vice-versa:






Vamos à mais um exemplo para praticarmos mais:

Examine este outro triângulo retângulo:

Sim, este também é um triângulo retângulo, porém um pouco mais difícil de ser observado, mas não impossível:
Lembrando que a Hipotenusa sempre estará oposta ao ângulo reto, percebemos que neste caso, nossa hipotenusa é o lado Y, veja:

Ou também o lado maior do triângulo.
Pois bem, se Y é a hipotenusa, nos resta dizer que lado X e lado Z são os catetos, mas quem é adjacente e quem é oposto ao ângulo alfa?
Se você for perceber bem a figura, o X está mais próximo ao ângulo agudo alfa que Z, logo, o X é o Cateto adjacente e o Y o Cateto oposto:

Então agora sabemos quem é quem! Basta apenas substituí-los nas fórmulas das relações:







Depois desses exemplos é fundamental que nesta altura do campeonato você já saiba como identificar os elementos de um triângulo retângulo e suas aplicações nas fórmulas das relações! Mas caso reste alguma dúvida, tente re-ler a aula com mais calma para não ficar com mais nenhuma dúvida, pois agora iremos avançar mais um pouco.

Sabendo identificar os elementos dos triângulos retângulos, e aplicá-los corretamente nas nossas três fórmulas, podemos agora finalmente calcularmos as medidas de cada lado de um triângulo retângulo! Mas antes disso, devemos conhecer alguns números que podem substituir o valor dos ângulos nas nossas fórmulas, veja agora:

Arcos Notáveis:

Na trigonometria, existe uma grande tabela que nos fornece os números que podemos substituir nos ângulos agudos de nossas fórmulas de relações.
A tabela é bem grande e não é necessário decorá-la, mas se quiser ter acesso à ela, clique aqui!
Esta tabela é muito útil, pois ela nos informa o número a ser substituído, de acordo com cada ângulo agudo do triângulo retângulo e em qual fórmula ele é utilizado.
Porém, na maioria dos problemas envolvendo triângulos retângulos, é muito comum utilizarmos os ângulos de 30 graus, 45 graus e 60 graus.
Eles são chamados de Arcos Notáveis, pois temos uma tabela especial só para eles que é moleza de decorar:


Esta tabela nos fornece determinados números a serem substituídos de acordo com cada ângulo referido (30°, 45°, 60°) e de acordo também com cada fórmula das relações: Seno, Cosseno e Tangente.
O que? Não achou a tabela fácil de decorar? E se você mudar de ideia vendo a construção desta tabela? Acho que ficará mais fácil para memorizá-la, não?
Pois bem, temos aqui a tabela vazia:

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Partimos do princípio onde todos os números desta tabela (exceto os dois últimos) são frações:

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Em Seno e Cosseno, o denominador destas frações é o número dois:

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Na linha do Seno, podemos escrever uma sequência de um à três nos numeradores:

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Já no Cosseno a sequência é a mesma, só que de três à um:

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Agora todos recebem raízes nos numeradores, menos o meio:

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Na tangente de 30 graus, também vamos usar raízes! A raiz de três, no numerador e três sem raiz no denominador:

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Para os dois últimos números que não são frações, colocaremos em 45° da tangente o número 1 e em 60° uma raiz de três novamente:

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E aqui está nossa tabela dos arcos notáveis! Creio que agora ela não está tão difícil de decorar, certo?

Agora sabendo esta tabela, as fórmulas de relações e os elementos principais do triângulo retângulo, podemos finalmente calcular seus lados:

Calculando os lados do triângulo retângulo:

Depois de toda a parte teórica, vamos agora aprender a calcular qualquer lado de um triângulo retângulo.
A primeira coisa a se pensar quando queremos encontrar as medidas de algum dos lados de um triângulo retângulo qualquer é em qual fórmula o que queremos calcular se relaciona com o que nós temos, exemplo:

Calcule os Catetos do  triângulo retângulo abaixo, cuja hipotenusa mede 6 cm e o ângulo alfa mede 60 graus:


Como pode notar na imagem acima: Hipotenusa é igual à 6 cm, e o Cateto x é o oposto, enquanto o Cateto Y é adjacente ao ângulo agudo de 60 graus.
Primeiramente iremos encontrar o valor de X, ou seja, do Cateto Oposto.
Se temos a Hipotenusa e queremos encontrar o Cateto Oposto, então já temos uma relação! Mas quem relaciona Cateto oposto com Hipotenusa? Lembra? O Seno!


Substituindo os valores na fórmula temos:


Seno de 60 graus (ângulo fornecido), X = Cateto Oposto e 6 = Hipotenusa!
Verificando na tabela dos arcos notáveis, você pode ver que o Seno de 60 graus é igual à raiz quadrada de 3 sobre 2, então a fórmula fica assim:


Então agora multiplicando em cruz ficamos com: 2x = 6√3
Para isolar o x na equação temos que passar o dois dividindo, então:

Dividindo os números fora da raiz (6 e 2) temos que 6/2= 3
Logo, x= 3√3
Se quiser encontrar a raiz quadrada de 3 e multiplicar este valor por 3, não tem problema algum, mas deixar o resultado como x= 3√3 também é correto, a não ser que o problema tenha pedido as medidas exatas, o que não é o caso.
Mesmo assim:  3√3 = Aproximadamente: 5,196cm
Se o X era o Cateto Oposto, logo sabemos que o Cateto Oposto deste triângulo retângulo vale 3√3 ou aproximadamente 5,196cm.
Mas e o Cateto Adjacente?
Para isso, basta seguir o mesmo raciocínio, só que agora tente pensar... Quem relaciona Hipotenusa (o que nós temos) com Cateto Adjacente(o que queremos encontrar)? Cosseno!
Então seguindo a fórmula:


Temos que substituir os valores na fórmula, sendo que: ângulo agudo = 60°, Hipotenusa = 6 cm e Cateto Adjacente = Y

Verificando na tabela dos arcos notáveis, Cosseno de 60 é igual à meio, então:

Multiplicando cruzado temos que: 2y= 6
Isolando Y na equação teremos: Y=  6/2 = 3
Logo, Y = 3cm
Então o Cateto adjacente deste triângulo retângulo é igual à 3 cm.
Nosso desenho do triângulo retângulo fica assim:

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Outro exemplo mais complexo:

Algumas vezes o problema não nos fornece todas as informações, como por exemplo o ângulo agudo e suas posições no triângulo retângulo, com isto devemos raciocinar um pouco e tentar encontrar quem é quem.
Por exemplo, se foi no fornecido que um dos ângulos mede 30 graus, quanto mede o outro ângulo?
Para isso, basta lembrar que: A soma de todos os três ângulos internos de um triângulo retângulo deve ser igual à 180 graus.
Se já temos um ângulo reto que sempre medirá 90 graus, e mais um de 30 graus, qual será a medida do terceiro? Para isso,  basta fazer uma pequena equação de primeiro grau, onde 'x' é o terceiro ângulo que queremos achar.
x + 90° + 30°= 180°
Isolando ''X'' na equação ficamos com: x = 180° - 90° - 30° -> X = 60° Então nosso terceiro ângulo agudo é de 60 graus! Se você for somar agora os três ângulos internos, dará 180 graus! Logo, a equação é verdadeira! 90° + 30° + 60° = 180°
Vamos ao exemplo:

Calcule os Catetos de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é 2,5 cm e um dos ângulos é igual à 60°:
Primeiramente não sabemos as medidas dos Catetos, logo um deles recebe o nome de X e o outro recebe o nome de Y.
Sabemos também que a Hipotenusa mede 2,5 cm e um dos ângulos é de 60 graus, chamamos então este ângulo de ângulo alfa.
Para encontrarmos o ângulo beta, basta fazer a equação do primeiro grau, onde b = beta:
b + 60° + 90° = 180° -> b = 180° - 60° - 90° -> b = 30°
Logo, nosso ângulo beta é de 30 graus.
Agora que sabemos quem são nossos ângulos, podemos encontrar os Catetos:
Vamos usar a lei dos Senos para ambos, mas se usar a lei do Cosseno também dará certo:
*Por que usar as leis de Seno e Cosseno? Porque ambos relacionam Catetos com Hipotenusa.

Primeiro Cateto = x  Primeiro ângulo dado = 60° então:


Na tabela dos arcos notáveis, o Seno de 60 graus é igual à raiz de 3 sobre dois, logo:

Multiplicando em cruz ficamos com: 2x = 2,5√3
Isolando X na equação: x = 2,5√3 sobre 2. Dividindo os números fora da raiz (2,5 e 2) ficamos com: 1,25√3
Então um dos Catetos mede 1,25√3 cm. Se quiser eliminar esta raiz quadrada, basta multiplicar o 1,25 pela raiz de três que dará aproximadamente 2,165 cm.

Agora iremos encontrar nosso segundo Cateto e já que estamos usando a lei do Seno novamente, usaremos o ângulo beta agora:
Ângulo beta = 30 graus, então:

Na tabela dos arcos notáveis sabe-se que o Seno de 30° é igual à meio, logo ficamos com:

Multiplicando cruzado temos: 2y= 2,5
Isolando Y na equação: y =2,5/2 = 1,25
Logo nosso outro Cateto é igual à 1,25 cm.
Então Cateto x = aproximadamente 2,165 cm e Cateto y = 1,25 cm
Se tem dúvidas com relação às respostas fornecidas, aplique o Teorema de Pitágoras para conferir sua resposta:
O Teorema de Pitágoras diz que: h² = L² + L²
Ou seja, o quadrado da Hipotenusa é igual à soma dos Catetos ao quadrado:
Se a Hipotenusa é igual à 2,5 cm, seu quadrado é igual à 6,25 cm.
Então a soma do quadrado desses dois Catetos deve dar aproximadamente 6,25. Veremos:
(2,165²) + (1,25²)
4,687225 + 1,5625 =  aproximadamente 6,24
Confere! Logo, nossos cálculos estão exatos!

Finalização:

É isso, pessoal, a aula termina por aqui! Claro que a trigonometria não se resume apenas nisso, mas é uma base para as aulas posteriores envolvendo o círculo trigonométrico, e etc...
Qualquer dúvida com relação à aula, pode me contactar através de uma MP ou por aqui mesmo neste tópico, e se encontrar algum equívoco na mesma, me procure também.

Créditos:

Aula escrita por: MayLeone

[Raizen]

Oh que aula maneira xD, vou ver se acho um lugar melhor para colocar do que outras discussões e lazer :P...

Você é tipo eu, quando coloca algo para ensinar, deve aprender ou guardar pacas do que escreve xD, parabéns ai Mayzinha

[SimonMuran]

  Aí sim! serei sincero odeio matemática, mas enem ta ai, então engolirei isso junto com minha namo adshusahuddsauhsda não é relacionado a maker, mas é muito importante obrigado tia vai ajudar muito 

[MayLeone]

Oh que aula maneira xD, vou ver se acho um lugar melhor para colocar do que outras discussões e lazer :P...

Você é tipo eu, quando coloca algo para ensinar, deve aprender ou guardar pacas do que escreve xD, parabéns ai Mayzinha

É Rai, mas acho que não há outro local melhor para colocar essa aula!  :¬¬:
Mas well, obrigada pelo feedback Rai! Pretendo escrever diversas aulas de matemática, mas é como eu disse... Não vou postar todas aqui porque sai meio do foco, por isso deixei o link do meu blog para quem quiser conferir!

Aí sim! serei sincero odeio matemática, mas enem ta ai, então engolirei isso junto com minha namo adshusahuddsauhsda não é relacionado a maker, mas é muito importante obrigado tia vai ajudar muito 

Sim, a maioria das pessoas não curtem matemática. É que o ser humano tem um pouco de preguiça para raciocinar, e matemática é puro raciocínio, por isso algumas pessoas a detestam, o que não é meu caso, claro.
Obrigada pelo comentário! E sim, pode ser um pouco relacionado ao maker, já que matemática tem tudo a ver com programação, mas essa aula só serviria se você quisesses fazer algum tipo de sistema de áreas, terrenos, e etc...
Obrigada pelo comentário.

Até mais.

[Makers]

Aulas de matemática são muito bem vindas por mim, também sou
péssimo em matemático, se eu não entendo já perco a vontade, mas se consigo fazer
tudo numa boa eu me empolgo .
Obrigado pela ótima aula May

[Lima]

Eu não percebia nada de trigonometria no início tirei 9 em 20 s: depois fui fazendo exercícios e melhorando chegando ao 17 em 20, agora estou nas derivadas e não percebo nada s:

Bom aula May

[Geraldo de Rívia]

Acho que é a única coisa de matemática que uso do ensino médio.
Ainda bem que até que não tive dificuldade em sacar essa parte,
porque o tanto que tive que usar isso em mecânica... Puts.

Minha professora tinha um jeito daorinha de guardar aquele
quadro, daí facilitou também.

Mas bacana May, acho que tem bastante guri aqui estudando,
talvez nem no médio ainda, daí é bem útil. E tipo, acho que, de
certa forma, até dá pra aplicar no maker também.

[Klarth]

Trigonometria é uma das áreas que mais gosto na matemática, principalmente devido a sua relação com jogos 
Muito boa aula may, bem detalhada e talz. Você poderia quem sabe dar continuidade as aulas, dessa vez ensinando sobre trigonometria na circunferência, iria ser muita massa ter uma série sobre trigonometria aqui no fórum!!
Eu penso em fazer algo sobre vetores e suas aplicações, quem sabe depois eu poste 

[MayLeone]

@Makers:
Hey obrigada pelo comentário! Espero que nessa aula você entenda um pouquinho sobre trigonometria e se empolgue!

@King Gerar:
Realmente a gente usa bastante a trigonometria em nossas vidas, às vezes até mesmo sem saber.
Obrigada pelo feedback, Gerar <3

@Klarth:
Sim, na verdade eu estou dando continuidade nessa aula, até já postei no meu blog a próxima aula sobre A lei dos Cossenos, então meu próximo passo é escrever sobre o circulo trigonométrico e circunferências inscritas nos triângulos.
No mais, agradeço pelo comentário e até mais.